Kiểm định phi tham số là gì? Mann-Whitney, Wilcoxon, Kruskal-Wallis | Bảng chọn

Thời gian sửa máy, thời gian chờ vật tư, số lần dừng máy nhỏ - dữ liệu nhà máy kiểu này hiếm khi theo phân phối chuẩn. Chúng lệch phải: phần lớn nhanh, thỉnh thoảng có ca “kẹt” kéo dài gấp ba. Đưa thẳng vào t-test, một hai giá trị cực đoan đủ làm kết luận sai. Kiểm định phi tham số là lối thoát.

Tóm tắt nhanh

• Kiểm định phi tham số không giả định dữ liệu theo phân phối chuẩn; phần lớn làm việc trên thứ hạng và so sánh trung vị.
• Dùng khi kiểm định chuẩn thất bại với cỡ mẫu nhỏ, có ngoại lai thật, hoặc dữ liệu thứ bậc.
• Tương ứng: Wilcoxon/Sign test cho 1 mẫu và mẫu cặp, Mann-Whitney cho 2 mẫu độc lập, Kruskal-Wallis/Mood median cho nhiều nhóm.
• Lỗi lớn: mặc định dùng phi tham số cho mọi thứ, dùng Mann-Whitney cho dữ liệu cặp, xoá ngoại lai để “cho chuẩn”.

Kiểm định phi tham số là gì?

Kiểm định phi tham số (non-parametric) không giả định dữ liệu theo một phân phối cụ thể (thường là chuẩn). Phần lớn làm việc trên thứ hạng hoặc dấu của dữ liệu thay vì giá trị gốc, nên ít bị ngoại lai chi phối. Đổi lại, chúng thường so sánh trung vị và có power thấp hơn một chút khi dữ liệu thực sự chuẩn.

Dùng khi:

• Kiểm định chuẩn thất bại rõ rệt (phân phối chuẩn và kiểm định chuẩn) và cỡ mẫu nhỏ.
• Có ngoại lai thật (không phải lỗi ghi chép) không được phép loại bỏ.
• Dữ liệu thứ bậc: điểm đánh giá 1-5, mức độ nghiêm trọng.

Bảng chọn tương ứng

Tình huống	Kiểm định tham số	Phi tham số tương ứng	So sánh
1 mẫu so với giá trị chuẩn	t-test 1 mẫu	Wilcoxon signed-rank 1 mẫu / Sign test 1 mẫu	Trung vị
2 mẫu cặp (trước/sau)	Paired t	Wilcoxon signed-rank / Sign test	Trung vị chênh lệch
2 mẫu độc lập	2-sample t	Mann-Whitney U	Phân bố / trung vị
3+ mẫu độc lập	One-way ANOVA	Kruskal-Wallis; Mood median	Trung vị
Tương quan	Pearson	Spearman	Quan hệ đơn điệu
Phương sai 2+ nhóm	Bartlett / F	Levene	Độ phân tán

Mẹo chọn nhanh: Wilcoxon cần chênh lệch đối xứng; nếu không đối xứng dùng Sign test. Kruskal-Wallis mạnh hơn Mood median, nhưng Mood median chịu ngoại lai tốt hơn.

Ví dụ 1 - Mann-Whitney: thời gian sửa máy của 2 tổ bảo trì

Thời gian xử lý sự cố (phút, minh hoạ):

• Tổ 1: 35, 42, 38, 55, 40, 47, 120, 39
• Tổ 2: 52, 61, 48, 75, 58, 66, 180, 57

Cách làm:

1. Gộp 16 giá trị, xếp hạng từ nhỏ đến lớn (35 hạng 1, …, 180 hạng 16).
2. Tổng hạng Tổ 1: R1 = 1 + 5 + 2 + 9 + 4 + 6 + 15 + 3 = 45.
3. U1 = R1 − n1(n1 + 1)/2 = 45 − 36 = 9; U2 = n1·n2 − U1 = 64 − 9 = 55. U = min = 9.
4. Với n1 = n2 = 8, p (chính xác, 2 phía) = 0,015 → Tổ 1 sửa nhanh hơn có ý nghĩa.

Đáng chú ý: t-test 2 mẫu cho p = 0,24 - không có ý nghĩa - vì hai giá trị 120 và 180 thổi phồng độ lệch chuẩn. Mann-Whitney chỉ xem 120 là “hạng 15”, không quan tâm nó lớn đến đâu.

Ví dụ 2 - Wilcoxon và Sign test: dừng máy nhỏ trước/sau 5S

Số lần dừng máy nhỏ/tuần của 10 máy dập, trước và sau chương trình 5S:

Máy	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Trước	12	15	9	20	14	11	17	13	16	10
Sau	8	11	9	13	10	9	12	10	9	8
d	4	4	0	7	4	2	5	3	7	2

• Bỏ cặp có d = 0 (máy 3) → n = 9.
• Wilcoxon: xếp hạng |d|, cộng hạng của chênh lệch âm: W− = 0 (không máy nào tăng). p chính xác = 0,0039.
• Sign test: 9 dương, 0 âm. Nếu H0 đúng, P(9/9 cùng dấu) hai phía = 2 × 0,5⁹ = 0,0039.

Kết luận: 5S giảm dừng máy nhỏ có ý nghĩa; trung vị chênh lệch là 4 lần/tuần.

Ví dụ 3 - Kruskal-Wallis và Mood median: thời gian chờ vật tư ở 3 kho

Thời gian từ khi yêu cầu đến khi nhận vật tư (giờ):

• Kho 1: 2,1; 3,4; 1,8; 2,9; 2,5; 4,0
• Kho 2: 3,8; 5,2; 4,4; 3,9; 6,1; 4,7
• Kho 3: 2,6; 3,1; 2,2; 3,5; 2,8; 9,5

Kruskal-Wallis: xếp hạng toàn bộ 18 giá trị, so sánh tổng hạng từng kho. H = 12/[N(N+1)] × Σ(Rᵢ²/nᵢ) − 3(N+1) = 7,45, df = 2, p = 0,024 → có ít nhất một kho khác.

Mood median: trung vị chung = 3,45. Đếm số giá trị trên trung vị: Kho 1: 1/6, Kho 2: 6/6, Kho 3: 2/6. Bảng 2×3 này cho χ² = 9,33, p = 0,009. Kho 2 rõ ràng chậm hơn. Giá trị 9,5 của Kho 3 không làm Mood median “lung lay” - nó chỉ là một điểm “trên trung vị”.

Làm trong Excel và Minitab

Excel không có sẵn các kiểm định này trong Data Analysis:

• Xếp hạng: =RANK.AVG(ô; vùng_gộp; 1); tổng hạng: =SUMIF.
• Mann-Whitney (n lớn, xấp xỉ chuẩn): z = (U − n1n2/2) / √(n1n2(n1+n2+1)/12), p = =2*(1-NORM.S.DIST(ABS(z);TRUE)).
• Sign test: =2*BINOM.DIST(MIN(k; n-k); n; 0,5; TRUE) (k = số dấu dương).
• Kruskal-Wallis: tính H như công thức, p = =CHISQ.DIST.RT(H; k-1).

Minitab: Stat → Nonparametrics →

• 1-Sample Sign, 1-Sample Wilcoxon (cho dữ liệu cặp: tạo cột d = Trước − Sau rồi kiểm định trung vị = 0).
• Mann-Whitney (Minitab 21+ còn hiển thị khoảng tin cậy cho chênh lệch trung vị).
• Kruskal-Wallis, Mood’s Median Test, Friedman (thiết kế khối).

Lỗi thường gặp

• Mặc định dùng phi tham số cho mọi thứ - với dữ liệu chuẩn, bạn đang bỏ phí power.
• Nghĩ Mann-Whitney luôn so sánh trung vị - chỉ đúng khi hai phân bố có hình dạng giống nhau; nếu khác hình dạng, nó kiểm định “một nhóm có xu hướng lớn hơn”.
• Dùng Mann-Whitney cho dữ liệu cặp - phải dùng Wilcoxon signed-rank hoặc Sign test.
• Xoá ngoại lai để “cho chuẩn” - ngoại lai thường là thông tin quý (ca 180 phút là gì?). Điều tra trước, quyết định sau.
• Quá nhiều hạng trùng (dữ liệu làm tròn thô) → p xấp xỉ kém; tăng độ phân giải đo.

Câu hỏi thường gặp

Phi tham số có cần giả định gì không? Có: mẫu ngẫu nhiên, quan sát độc lập; Kruskal-Wallis và Mann-Whitney muốn so trung vị thì các nhóm nên có hình dạng phân bố tương tự; Wilcoxon cần chênh lệch đối xứng.

Có thể biến đổi dữ liệu (log, Box-Cox) thay vì dùng phi tham số? Được, và thường giữ được power. Nhưng diễn giải kết quả trên thang log khó truyền đạt với xưởng hơn.

Cỡ mẫu bao nhiêu? Phi tham số chạy được với mẫu rất nhỏ (Sign test từ 6 cặp), nhưng power thấp - xem cỡ mẫu.

Bước tiếp theo

• Kiểm định tham số tương ứng: t-test, ANOVA một yếu tố.
• Tương quan theo hạng: Pearson và Spearman.
• Nền tảng: kiểm định giả thuyết.